公理化的豪言壮语与哥德尔不完备定理

数学家经常被打脸，甚至有的数学家在同一篇期刊上发表了两篇结论完全相反的文章，也能够被接受。所以即使他们提出什么宏伟的构想，例如希尔伯特所提出希尔伯特计划（——即希望数学是完整的，也是可判定的，建立在严谨的逻辑之上，是世间最无懈可击的真理）然后瞬间被推翻，大家也不必奇怪。要知道希尔伯特当时可是放出豪言壮语，“我们必须知道，我们必将知道”。可哥德尔的不完备定理一出，梦也就醒了，但是公理化的手段以及这段历史确是深刻的影响了数学。

我们不单单是介绍历史，因此我需要向你们解释什么是公理化。所谓公理化是指将一个数学理论建立在一组严格的、不需要证明的基本前提上，这些基本前提被称为公理（axioms）。通过这种方式，数学家能够确保数学理论的逻辑一致性，并建立一个严密的体系，从而使数学成为一门准确、可靠的学科。公理化在数学中的重要性那是列举不完的，但我还是不厌其烦地写了几条。

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逻辑一致性：公理化确保数学体系的逻辑一致性。公理是被认为是自明的真实陈述，因此它们不需要证明。其他定理和结果都是通过逻辑推理从这些公理中导出的，从而保证了整个数学体系的一致性。

明确定义概念：公理化要求对数学概念进行明确定义。通过公理，数学家能够精确描述数学对象的性质和相互关系，避免了不同解释和理解的混淆。

确保推理的有效性：通过公理化，数学中的推理和证明过程是严格、有效的。因为公理是不需要证明的基本前提，从公理出发的推理过程是完全可信的。

统一不同数学分支：公理化使得不同数学分支之间的联系和关联更加明确。数学家可以通过共享相同的公理，将不同的数学领域统一在一起。

发现新的数学结构：公理化的方法鼓励数学家探索新的公理系统和结构。通过对公理进行调整和扩展，数学家可以发现新的数学领域和结构，从而推动数学的发展。

公理化最早的事例就是欧几里德的几何原本，它的整本书都是由五个基本公设，加上定义和逻辑手段推理而成。

面对如此强力的手段，希尔伯特受到诱惑也在情理之中。虽然在他的那个年代没有完成彻底的公理化，但他仍将希望寄托在后辈身上，不过现实是残酷的。很快希尔伯特的梦就被一个叫哥德尔的人给狠狠地击碎了。

哥德尔基本是人狠话不多的那个类型，他证明了两件事。

第一，哥德尔证明了对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么这个系统不可能同时是完备的和一致的。也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么就有那么一些结论，它们是真的，我们却无法证明。

第二，他证明了对于任意的数学系统，如果其中包含了算术系统的话，那么我们便不能在这个系统内部证明它的一致性。这就是希尔伯特第二问题答案的一部分。

事情最有趣的地方在于哥德尔证明这两个定理的武器，就是希尔伯特所希望的数学形式化。在哥德尔的证明中，他先将所有的数学陈述以及它们的证明用符号形式地表达出来，然后利用哥德尔自己发明的一个重要技巧——哥德尔数化——将所有这些陈述和证明变为一个个的自然数。那么借助数学归纳公理，我们可以递归地建立针对所有自然数的陈述，而一个这样的陈述同时又是一个自然数，所以它描述了自己。换句话说，这个陈述陈述了它自己。

希尔伯特的宏伟计划终究是无法完成了 ，隐约之中这些事似乎在告诉我们同一个道理，就是所有的终极似乎都是不可实现的，我们唯一能做到的，就是踏踏实实的一步步检验，靠近。

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